नमस्कार, गणित प्रेमियों! क्या? आपको गणित पसंद नहीं है। तो चिंता मत करो, गणित के बारे में इन आश्चर्यजनक तथ्यों को जानने के बाद, आप गणित को इस तरह से प्यार करेंगे जैसे आपने पहले कभी नहीं किया है। तो बिना समय बर्बाद किए हम गणित के हमारे पहले रोचक तथ्य पर चलते हैं।
गणित का यह सुंदर समीकरण तीन गणितीय संचालन और पांच निरंतर संख्याओं से बना है। आप शायद इन पांच गणितीय निरंतर संख्याओं के बारे में जानते हैं जो हैं:
पाई(π>); π = 3.14
ऑयलर नंबर (e); e = 2.71
काल्पनिक इकाई(i); i2 = −1
नंबर 0
नंबर 1
और इन सब से बना वह सबसे सुन्दर समीकरण है :
eiπ + 1 = 0
इस समीकरण को यूलर की समरूपता से भी जाना जाता है। यहां पाई (π) और ऑयलर नंबर (e) एक अपरिमेय संख्या है यानी इन्हें पूर्णाकों के अनुपात के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता। जबकि i को काल्पनिक इकाई कहा जाता है जो i2 + 1 = 0 को दर्शाता है, और i2 = -1 देता है।
नंबर 0 सबसे छोटी पूर्ण संख्या है और इसका कोई चिन्ह नहीं है, अर्थात यह न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्कम। और नंबर 1 सबसे छोटी प्राकृत संख्या है, और हर संख्या का गुणनखण्ड है।
यह सुंदर क्यों है? जैसा कि आप देख सकते हैं कि हमने तीन पूरी तरह से हास्यास्पद और अजीब दिखने वाले संख्याओं का उपयोग किया है और इसमें 1 जोड़ा है जिससे वे एक साथ मिलकर ऐसा सरल समीकरण बनाते हैं। और यही कारण है कि यह गणित में सबसे सुंदर समीकरण है।
हम जिस संख्या के बारे में बात कर रहे हैं वह 6174 है जिसे भारतीय गणितज्ञ डी. आर. कर्पेकर के नाम के ऊपर रखा गया है। इसे कर्पेकर के स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है। डी. आर. कर्पेकर ने दिखाया कि यदि आप किसी चार अंकों की संख्या (1111 की तरह की संख्याओं को छोड़कर) के साथ एक प्रक्रिया करते हैं तो आपको यह संख्या मिल जाएगी। इस प्रक्रिया में निम्नलिखत चरन है:
- कोई भी चार-अंकीय संख्या लें। जिनमे कम से कम दो अलग-अलग अंकों हो, (अग्रणी शून्य की अनुमति है)
- Aअब ली गई संख्या के अंको को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें और फिर आरोही क्रम में।
- छोटी संख्या को बड़ी संख्या में से घटाएं।
- चरण 2 पर वापस जाएं और दोहराएं।
उपरोक्त प्रक्रिया, जिसे कपरेकर चक्र कहा जाता है। और हमेशा अपने निश्चित बिंदु पर पहुँचता है जो 6174 है यहाँ तक पहुंचने में इसे अधिकतम 7 पुनरावृत्तियों/चक्रो की आवस्यकता होती है। एक बार 6174 तक पहुंचने के बाद, यह प्रक्रिया 6174 देती रहेगी। उदाहरण के लिए 2453:
- 5432 - 2345 = 3807
- 8730 - 0378 = 8352
- 8532 - 2358 = 6174
तो आप किस चीज़ का इंतजार कर रहे हैं एक कलम और कागज ले, और अपने आप से गणित के इस मजेदार तथ्यों का प्रयास करें।
यह विश्वास करना मुश्किल है, लेकिन यह सच है कि जब हम 0.9 के बाद अनंत 9 लगा दे तो यह 1 के बराबर होगा। यह समीकरण वास्तव में समझने के लिए सरल है और आकर्षक है। पहले तो बहुत से लोग विश्वास नहीं करते कि यह सच हो सकता है, इसीलिए यहाँ इसके लिए एक सरल प्रमाण दिया गया है:
माना n = 0.999 ... ------- समीकरण 1
अब दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें, फिर आपको मिलेगा:
10n = 9.999... ------- समीकरण 2
अब समीकरण 2 से समीकरण 1 को घटाएं, फिर:
10n - n = 9.999... - 0.999...
9n = 9
n = 1 ------ सिद्ध!
आप इसे अलग तरह से भी समझ सकते हैं। जैसा कि हम 0.999... के अंत में और 9 जोड़ते हैं तो यह 1 के करीब आता जायेगा।
शायद आप पालिंद्रोम संख्या से अवगत हैं। और अगर नहीं है, तो मैं आपको बताता हूं, एक पलिंड्रोमिक संख्या वह संख्या है जो उसके अंकों के पलटने ओर भी समान रहती है। उदाहरण के लिए 198891. अगर हम इसे पीछे से लिखते हैं तो यह वैसा ही होगा। ऐसे ही संख्याओं को पलिन्ड्रोमे संख्या कहा जाता है।
अब, उपरोक्त कथन यानि "प्रत्येक संख्या तीन पैलिंड्रोम संख्याओं का एक योग है" से मेरा, यह तात्पर्य है कि प्रत्येक धनात्मक संख्या को तीन पैलिंड्रोम संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। चलो इसके लिए एक उदाहरण लेते हैं, 22121887 नंबर को इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
12000021
+9391939
+ 729927
___________
22121887
अब सवाल यह उठता है कि, आप उन तीन पैलीड्रोम संख्याओं को कैसे खोजेंगे जिनको जोड़ने पर एक दी गई संख्या प्राप्त होगी। तो इसके लिए 40-पेज के एल्गोरिथ्म को तीन गणितज्ञों द्वारा लिखा गया है जिसका नाम जेवियर सिलेरेलो, फ्लोरियन लुका और लुईस बैक्सटर है। इस 40-पेज के एल्गोरिथ्म को पढ़ने और याद रखने के बाद आप तीन पैलिंड्रोम संख्याओं के योग के रूप में किसी भी संख्या को दिखा सकते हैं। लेकिन 40-पेज के एल्गोरिथ्म को पढ़ना और याद रखना, उबाऊ और कठिन भी है, इसलिए हमारे पास इसके लिए एक विकल्प है और यह क्रिस्टिअन लॉसन-परफेक्ट द्वारा डिजाइन की गई वेबसाइट है। इनकी वेबसाइट पर जाएँ और इसे अपने आप से आज़माएँ।
40 पेज के एल्गोरिदम का काम करने वाली वेबसाइट: https://somethingorotherwhatever.com/sum-of-3-palindromes/
40-पृष्ठ के एल्गोरिथ्म का लिंक करें: https://arxiv.org/abs/1602.06208v2
आइए पहले समझते हैं कि किसी संख्या के फ़ैक्टोरियल (!) का क्या मतलब है।
किसी भी संपूर्ण संख्या n के लिए, इसका फ़ैक्टोरियल (!) होगा:
n! = n x (n-1) x (n-2) x ..... x 3 x 2 x 1
संख्या के फ़ैक्टोरियल को ! चिह्न द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए 6 का फ़ैक्टोरियल होगा:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
6! = 720
अब, हम ये कैसे पता लगाए की 0 का फ़ैक्टोरियल क्या है। तो 0 का फैक्टरियल पाने के लिए हम एक पैटर्न को पूरा करते है। तो चलिए उस पैटर्न को पूरा करते है:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
अब 5! को इस तरह से भी लिखा जा सकता है:
5! = 6!/6 = 720/6 = 120
4! = 5!/5 = 120/5 = 24
3! = 4!/4 = 24/4 = 6
2! = 3!/3 = 6/3 = 2
1! = 2!/2 = 2/2 = 1
यह मुख्य भाग है:
0! = 1!/1 = 1/1 = 1
इसलिए पैटर्न को पूरा करके हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 का फ़ैक्टोरियल 1 के बराबर है।
आप इसे एक अलग तरीके से भी समझ सकते हैं। 3! का मतलब है 3 वस्तुओं को व्यवस्थित करने के कुल 6 अलग तरीके हैं, 2! मतलब है 2 वस्तुओं को व्यवस्थित करने के 2 अलग तरीके हैं, और 1! का मतलब है 1 वस्तु को व्यवस्थित करने का केवल 1 ही तरीका है।
अब, यदि मैं आपसे पूछूं कि आप कुल कितने तरीके से 0 वस्तुओ को व्यवस्थित कर सकते हैं? तो उत्तर होना चाहिए 1। इसे एक उदाहरण से समझते है:
3 वस्तुओं की व्यवस्था - 😄 😍 💗 | 😄 💗 😍 | 😍 💗 😄 | 😍 😄 💗 | 💗 😍 😄 | 💗 😄 😍 - 6 तरीके
2 वस्तुओं की व्यवस्था - 😄 😍 | 😍 😄 - 2 तरीके
1 वस्तुओं की व्यवस्था - 😄 - 1 तरीके
0 वस्तुओं की व्यवस्था - ________ - 1 तरीके
मुझे उम्मीद है कि अब आप समझ गए होंगे!
वैसे तो गणित के बहुत सारे मजेदार तथ्य हैं जो इस लेख में शामिल किए जा सकते हैं लेकिन मैं ऐसा नहीं चाहता था कि यह बहुत लंबा हो। लेकिन आप कमेंट में गणित के बारे में अपने पसंदीदा मजेदार तथ्यों को शामिल कर सकते हैं। अंत में मैं इस लेख को एक प्रश्न के साथ खत्म चाहूंगा: उपरोक्त में से आपका पसंदीदा गणित तथ्य कौन सा है? इसे नीचे कमेंट में लिखे। गणित के इन रोचक तथ्यों को अपने दोस्तों और परिवार के साथ साझा करें और हमें और अधिक दर्शकों तक पहुंचने में मदद करें। इस तरह के एक लंबे लेख को पूरा पढ़ने के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। हम आपसे अगले लेख में मिलते हैं।
